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伝統的な数学分野で研究される対象は物理現象と深い関わりを持つものが多い。一方、応用分野では数理モデルという形で例えば計算機や言語などといったものを対象とした研究が行われる。もちろん、数理モデルにおける演繹から得られる成果と実際との間にいくぶんかのずれを生じることもあるが、そのずれの評価とモデルの実用性・実効性については多くは数学の外の話である。また、数学とパズルの類似性が指摘される事があるが、数学が本質性や体系性を重要視することに照らせば、パズルはむしろ奇をてらい非体系的である。こうした研究姿勢がしばしば様々な数学の諸分野を統一するような概念へと導いたり、他分野の学問の発展に貢献したりする事につながる。

歴史的には、数学の主要な分野は次の三つの必要性から生じたものである。商取引の際の計算、測量、それに天文現象を予測すること。これら三つの必要性は、数学の大きな三つの区分、構造、空間、変化のそれぞれの研究に大体対応しているといえよう。このような事情から、現代における純粋数学の研究は主に代数学、幾何学、解析学の三分野に大別される。また、これらの数学を記述するのに必要な道具を与える論理を研究する学問を数学基礎論という。


構造の研究は、算術における数から始まる。まずは身近な自然数と整数であり、そして算術の演算を決めるルールは、初等代数において拡張される。その一方で、数全体についての深い性質は数論において研究される。方程式を解く手法を研究することは、抽象代数学の分野におよんで、そこでは環や体のような、身近な数の持つ性質を一般化した構造を研究する。物理学で重要な概念であるベクトルは、ベクトル空間に一般化されて、構造と空間の二つの分野に属する線形代数学で研究される。

直線（ちょくせん、line）とは、太さを持たない幾何学的な対象である曲線の一種で、どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点を持たない。同様の対象に、有限の長さと両端を持つ線分（せんぶん、line segment）と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた半直線（はんちょくせん、ray）がある。

光はその直進性により、何もない真空中では直線上を移動する。重力があれば光が曲がったように見えるが、それは重力により空間がゆがんでいることによるもので、光はその曲がった空間中内の直線の上を進むのだと考えたのはアインシュタインである。このような考え方は、非ユークリッド幾何学の成果によるものである。正確にはこれは、光は最短経路を通るということを言っているのであって、光が進むのは測地線である。

数学の語源について、日本語「かず」は、説得力のある語源説は示されていない。提唱されたいくつかの説については数を参照。漢字「數」（数の正字）は、一説には、算木を扱って数をかぞえることであり、また一説には、音を立てて数をかぞえることである。英語 mathematics は、ギリシア語に起源を持つ（μάθημα [máthema]: マテーマタ、学、知識、学ぶこと; μαθηματικός [mathematikos]: 好んで学ぶ、学ぶ性質の）。

数学とは、狭義には伝統的な数論や幾何学などの分野における研究とその成果の総称として、またそれらの成果を肯定的に内包する公理と推論からなる論理と理論の体系を指して言うものである。また広義には、超数学（メタ数学）などと呼ばれる枠組みにしたがって公理と推論規則が定められた体系一般を指す。現代的な数学においては、公理的に定義される抽象的な構造を、形式論理を共通の枠組みとして用いて探究する。方法論の如何によらず最終的には、数学としての成果というものは他の自然科学のように実験や観察によるものであってはならない。

数学、特に伝統的な純粋数学では数学研究が自己目的化されており、数学への内的な興味のために研究がなされる。 このような数学ではいかに本質的な概念なり定理なりを得ていかに体系的な数学を構築するかが重要視されており、数学的対象を記述するのに適した概念や空間を定義したり、数学的事象をうまく表現した定理を得たりする事が数学者の主な仕事である。一方で、美的な理由からそれぞれの分野での研究をしている数学者もいる。彼らは対称性や直観性などその独特の審美眼を以って、数学を芸術に近しいものとみなしているのである。

ナイル河は毎年氾濫を起こし、肥えた土を下流に広げたことがエジプトの繁栄のもとだといわれる。ナイル河の氾濫を正確に予測する必要から天文観測が行われ、太陽暦が作られた。太陽とシリウス星が同時に昇る頃ナイル河は氾濫したという。また、氾濫が収まった後に農地を元通り配分するため、測量と幾何学が発達した。

アフリカの中南部とは砂漠と山岳によって隔てられているため、アフリカというよりも西アジア、地中海文明に近い文明であった。最初の農耕文明とされるメソポタミアから多くの影響を受けているといわれるが、民族移動の交差点にあたるメソポタミアが終始異民族の侵入を受け戦いにあけくれたのに比べ、地理的に孤立して外れにあったエジプトは比較的安定していた。

図形（ずけい、shape）は、一定の決まりによって定められる様々な形状のことであり、様々な幾何学における基本的な対象である。

ものの視覚認識によって得られる直観的な「かたち」を、まったく感覚によらず明確な定義と公理のみを用いて、演繹的に研究する論理的な学問としての幾何学の一つの典型は、ユークリッドの原論に見られる。ユークリッド幾何学においては、図形は定木とコンパスによって作図され、点、直線と円、また平面や球、あるいはそれらの部分から構成される。

1872年、クラインによって提出されたエルランゲン目録は、それまでの古典的なユークリッド幾何学、非ユークリッド幾何学、射影幾何学などの種々の幾何学に対して、変換という視点を通して統一的に記述することを目的とした。クラインのこの立場からは、図形は運動あるいは変換と呼ばれる操作に関して不変であるような性質によって記述される点集合のことであると言うことができる。

同時期にリーマンは、ガウスによって詳しく研究されていた曲面における曲率などの計量を基礎に、曲面をそれが存在する空間に拠らない一つの幾何学的対象として扱うことに成功し、リーマン幾何学あるいはリーマン多様体の概念の基礎を築いた。この立場において図形は、空間内の点集合という概念ではなく（一般には曲がったり重なったりした）空間そのものを指すと理解できる。

メソポタミア（Mesopotamia、ギリシャ語で「複数の河の間」）は、チグリス川とユーフラテス川の間の沖積平野であり、過去のペルシアの一部、現在のイラクにあたる。メソポタミア文明 はメソポタミアに生まれた文明を総称する呼び名で、世界最古の文明である。文明の初期の中心となったのはシュメール人であるが、シュメール人は民族系統が不明である。

地域的に、北部がアッシリア、南部がバビロニアで、バビロニアのうち北部バビロニアがアッカド、下流地域の南部バビロニアがシュメールとさらに分けられる。南部の下流域であるシュメールから、上流の北部に向かって文明が広がっていった。土地が非常に肥沃で、数々の勢力の基盤となったが、森林伐採の過多などで、上流の塩気の強い土が流れてくるようになり、農地として使えなくなってしまい、衰退した。

メソポタミアは、数多くの文明の栄えた土地であり、また数多くの文明によって征服されもした。それら諸文明の中には、シュメール、バビロニア（バビロン）、アッシリア、アッカド（ムロデ王国の四つの都市のひとつ）、エジプト文明、ヒッタイト、そしてエラム古代王国がある。

古代エジプトとは古代のエジプトの歴史的呼称。ここで起きたエジプト文明は世界四大文明のひとつ。紀元前3000年前後に中央集権的な統一国家となる。通常、紀元前31年にプトレマイオス朝が滅亡しローマ帝国の支配下に入る前までの時代を指す。

古い時代から砂漠が広がっていたため、ナイル河流域の面積にして日本の4倍程度の範囲だけが居住に適しており、主な活動はその中で行われた。ナイル河の上流は谷合でありナイル河一本だけが流れ、下流はデルタ地帯が広がっている。最初に上流地域（上エジプト）と下流地域（下エジプト）でそれぞれ違った文化が発展した後に統一されたため、王の称号の中に「上下エジプト王」という部分が残り、古代エジプト人も自国のことを「二つの国」と呼んでいた。

世界四大文明（せかいよんだいぶんめい）とは人類の歴史において、4つの大文明が最初に起こり、以降の文明はこの流れをくむという歴史観に基づく概念である。四大河文明とも言う。

四大文明は、メソポタミア文明・エジプト文明・インダス文明・黄河文明をさした。

ただし、考古学研究が進展した現代では、初期の文明を4つに限定する見方は否定的であり、四大文明という概念自体が知識が乏しかった過去のものといえる。

インダス文明 (インダスぶんめい，Indus Valley civilization) は、インド・パキスタンのインダス川及び並行して流れていたとされるガッガル・ハークラー川周辺に栄えた文明で、現在南インドを中心に暮らしているドラヴィダ人によりつくられたと推定されている。考古学上は、ハラッパー文化と呼ばれ、パキスタン、パンジャブ州のハラッパーを標式遺跡とする。

インダス文明が栄えたのは紀元前2600年から紀元前1800年の間である。滅亡については諸説あり、現在では、地殻変動によってインダス川河口付近の土地が隆起し、そのために洪水が頻発して耕地に塩害をもたらし、さらにインダス川の河道が移動したことによって、水上交通を前提とした貿易によって機能していた都市の機能を麻痺させたためという説と、後述するように砂漠化に伴って都市が放棄され住民が移住したという説がある。

また、ドラヴィダ人は、紀元前13世紀に起きたアーリア人の侵入によって、被支配民族となり一部が南インドに移住した。